实践中的 Heston 模型之随机模拟
总结 Heston 模型随机模拟的相关文献。
实践中的 Heston 模型之随机模拟
引言
对于随机波动率驱动的资产价格过程，
\[\begin{align*} dS &= (r-q)Sdt + \sqrt{v}S\left[\rho dW_1(t) + \sqrt{1-\rho^2}dW_2(t)\right]\\ dv &= \kappa[\theta - v]dt+\sigma\sqrt{v}dW_1(t)\\ d[z_1,z_2] &= 0 \end{align*}\]其中 $v$ 是一个自给自足的过程，而 $S$ 依赖于 $v$，因此在模拟计算中 $S$ 处于从属地位，需要优先解决 $v$ 的模拟。
四种模拟策略
路径模拟的核心问题之一是离散化后的差分过程如何近似（或准确）地描述真实随机过程的转移概率分布。根据对 S 和 v 转移概率分布的近似方法分类，Heston 过程的模拟主要存在四种策略，分别是
- Euler 离散策略
- 精准模拟策略
- 近似分布策略
- 混合策略
实践中 SDE 的模拟是计算复杂度和准确性之间权衡取舍之后的结果。几种策略在计算复杂度和准确性上各有优劣，其中 Euler 离散策略的复杂度最低，但准确性最差；精准模拟策略的准确性最高，但复杂程度最高；剩下的介于两者之间。
需要根据具体问题的特点选择特定的模拟方法，以兼顾计算时间和精度。
Euler 离散策略
Euler 离散策略就是对 $v$ 和 $S$ 都采用 Euler 离散近似，做法和 ODE 数值解中的 Euler 方法一致。需要注意的是，$v$ 和 $S$ 都隐含着非负值的限制，而不加修正的 Euler 离散是无法满足这一限制的，因为 Euler 离散中被模拟变量的转移概率分布是正态的。
对 $S$ 来说，简单的对数变换就可以让 $S$ 满足非负限制。而对 $v$ 来说，情况并没有想象中的简单。
首先，如果 $v$ 的参数满足 $\sigma^2 > 2\kappa\theta$ 条件，$v$ 可以“达到”0（文献【1】），根据模型校准的经验结果，这一条件常被满足（文献【1】），非负修正是必不可少的。
其次，观察 SDE 可知，当 $v$ 触碰到 0 时，漂移项虽然达到最大值，但扩散项却非常小，因此可以推测 $v$ 会“徘徊”在 0 附近，不会马上反弹开。对 $v$ 的修正要尽可能体现出这种行为。
根据文献【1】，对 $v$ 的非负修正方法可以总结为下面的形式，
\[\begin{align*} \tilde{v}_{t + \Delta} &= f_1(\tilde{v}_{t})+\kappa(f_2(\tilde{v}_{t})-\theta)\Delta + \sigma_v\sqrt{f_3(\tilde{v}_{t})}(z_1(t+\Delta)-z_1(t))\\ v_{t+\Delta} &= f_3(\tilde{v}_{t+\Delta}) \end{align*}\]$\tilde{v}$ 是 $v$ 的伴随过程，是实际进行递推计算的随机变量，而 $f_3(\tilde{v})$ 才是最终需要的方差过程。
根据 $f$ 的不同形式，对 $v$ 的非负修正方法可以总结为 5 种形式
| 形式 | $f_1$ | $f_2$ | $f_3$ |
|---|---|---|---|
| 吸收形式 | $x^+$ | $x^+$ | $x^+$ |
| 反弹形式 | $|x|$ | $|x|$ | $|x|$ |
| Higham-Mao 形式 | $x$ | $x$ | $|x|$ |
| 部分截断形式 | $x$ | $x$ | $x^+$ |
| 完全截断形式 | $x$ | $x^+$ | $x^+$ |
$v$ 远离 0 时，5 种形式没有区别。当伴随过程接近 0 时，$v$ 的行为则有细微区别，其中完全和部分截断形式得到的值会尽可能的小，体现出徘徊在 0 附近的行为。
文献【1】中比较了上述处理方式，完全和部分截断表现更好，优于其他形式。
精准模拟
用积分形式重新表述 Heston 过程的 SDE，
\[\begin{align*} S_{t} &= S_{u} \exp \left[(r-q)(t-u)-\frac{1}{2} \int_{u}^{t} v_{s} d s+\rho \int_{u}^{t} \sqrt{v_{s}} d W_1{(s)}+\sqrt{1-\rho^{2}} \int_{u}^{t} \sqrt{v_{s}} d W_2{(s)}\right]\\ v_{t} &= v_{u}+\kappa \theta(t-u)-\kappa \int_{u}^{t} v_{s} d s+\sigma \int_{u}^{t} \sqrt{v_{s}} d W_1{(s)} \end{align*}\]需要注意的是 $\int_{u}^{t} v_{s} d s$ 其实是个随机值，而 $\int_{u}^{t} \sqrt{v_{s}} d W_2{(s)}$ 恰好是方差为 $\int_{u}^{t} v_{s} d s$ 的正态变量（Ito 等距，以及 $W_2$ 与 $v$ 独立）。如果知道 $v$ 的转移概率分布，知道 $\int_{u}^{t} v_{s} d s$ 的条件分布 $F(\int_{u}^{t} v_{s} d s \mid v_t,v_u)$，就可以准确的算出表达式中的每一个值，进而实现精准模拟。
文献【2】指出 $v$ 的转移概率分布是一个非中心的卡方分布，同时给出了 $F(\int_{u}^{t} v_{s} d s \mid v_t,v_u)$ 的计算方法。
精准模拟的算法：
- 从非中心卡方分布中抽样，由 $v_u$ 得到 $v_t$；
- 根据 $v_t$，$v_u$ 和条件分布 $F(\int_{u}^{t} v_{s} ds \mid v_t,v_u)$，用数值方法计算 $F$ 的逆函数，进而得到 $\int_{u}^{t} v_{s} d s$ 的抽样；
- 根据已知的 $v_t$，$v_u$ 和 $\int_{u}^{t} v_{s} ds$ 计算出 $\int_{u}^{t} \sqrt{v_{s}} d W_1{(s)}$；
- 根据 $\int_{u}^{t} v_{s} ds$ 抽样正态随机数 $\int_{u}^{t} \sqrt{v_{s}} d W_2{(s)}$；
- 根据上述结果计算出 $S_u$.
需要注意，$F(\int_{u}^{t} v_{s} d s \mid v_t,v_u)$ 的计算涉及多值复变函数，可能造成不连续性，修正算法见文献【3】。
近似分布
为弥补从非中心卡方分布中抽样可能存在的性能劣势，同时提供比 Euler 离散更好地近似性，可以用一个容易操作的简单分布近似 $v$ 的转移概率分布。
对数正态近似
由于在较短的步长上 $v$ 的值变动不大，文献【4】首先考虑用 OU 过程近似 $v$ 的转移概率分布。然而 OU 过程无法保证非负值（转移概率分布是正态的），遂进一步用一个矩匹配的对数正态分布近似 OU 过程的转移概率分布，再用此分布间接近似 v 的转移概率分布。$S$ 的模拟依然采用 Euler 形式。
文献【1】比较了 Euler 离散和对数正态近似。
截断正态近似（TG 形式）和二次正态近似（QE 形式）
文献【5】提出了两种方法近似 v 的转移概率分布，分别是截断正态近似（TG 形式）和二次正态近似（QE 形式）。TG 形式就是用截断的正态分布，即 $a(b+Z)^+$ 近似 $v$ 的转移概率分布；而二次正态则使用 $a(b+Z)^2$ 近似。其中 $Z$ 是标准正态分布，参数均通过用矩匹配法得到。
$v$ 的积分 $\int_{u}^{t} v_{s} ds$ 则使用梯形积分近似，剩余的计算步骤和精准模拟一致。
文献【5】的测试结果显示 QE 形式强于 TG 形式。
鞅修正
理论上 S 的贴现（考虑分红）有一个重要性质——鞅性，不过上述近似方法可能破坏了鞅性（问题可能出在 $\int_{u}^{t} v_{s} ds$ 的近似上），需要对 S 修正。文献【5】讨论了修正方法。
GammaQE 和双 Gamma 形式
文献【6】提出了另外两种“近似”方式，即 GammaQE 和双 Gamma 形式。在 GammaQE 形式下，$v$ 的转移概率分布由三个随机数的和近似，三个数分别服从 Gamma 分布、指数分布和二次正态分布。在双 Gamma 形式下，$v$ 的转移概率分布由两个随机数的和近似，分别服从参数不同的 Gamma 分布。双 Gamma 形式其实实现了 $v$ 的精准模拟。
v 的积分 $\int_{u}^{t} v_{s} ds$ 则使用一系列不同参数的 Gamma 变量和对数正态变量的和近似，剩余的计算步骤和精准模拟一致。
文献【6】比较了 GammaQE、双 Gamma 形式和 QE 形式。
混合模式
S 和 v 的计算相对独立，可以考虑混合上述几种策略中 S 和 v 的模拟方法。例如，在文献【7】中 $v$ 用精准模拟，而 S 用 QE 形式。也可以尝试其他混合。
参考文献
【1】A Comparison of Biased Simulation Schemes for Stochastic Volatility Models.
【2】Exact Simulation of Stochastic Volatility and Other Affine Jump Diffusion Processes.
【3】Efficient Pricing Algorithms for Exotic Derivatives.
【4】Extended Libor Market Models with Stochastic Volatility.
【5】Efficient Simulation of the Heston Stochastic Volatility Model.
【6】Fast and Accurate Long Stepping Simulation of the Heston Stochastic Volatility Model.
【7】An Effective Simulation of Heston Model: Combining Quadratic Exponential and Exact Simulation Schemes.