局部波动率建模文献总结

局部波动率建模文献总结

概述

求解局部波动率可以看作是在处理一个“逆问题”，以看涨期权的 BS PDE 和 Dupire PDE 为例，

\[\begin{aligned} \frac{\partial C}{\partial t}+\frac{1}{2} \sigma^2(S, t) S^2 \frac{\partial^2 C}{\partial S^2}+[r(t)-q(t)] S \frac{\partial C}{\partial S}-r(t) C&=0\\ C(S_T, T)&=\max(S_T-K,0) \end{aligned}\] \[\begin{aligned} \frac{\partial C}{\partial T}-\frac{1}{2} K^2 \sigma^2(K, T) \frac{\partial^2 C}{\partial^2 K}+(r(T)-q(T)) K \frac{\partial C}{\partial K}+q(T) C&=0\\ C(K, 0)&=\max(S_0-K,0) \end{aligned}\]

即试图“逆向工程”出一个平滑的函数 $\sigma^2(s, t)$，使得 PDE 确定的理论价格贴近市场报价。

这个问题并不简单：

• 首先，局部波动率函数通过 PDE 与理论价格相联系，二者的关系并不显而易见；
• 其次，现实中用于校准 $\sigma^2(s, t)$ 的市场报价是稀疏的，仅仅在有限的期限和执行价格上存在；
• 第三，$\sigma^2(s, t)$ 与期权价格的若干导数有关，而微小的报价误差扰动可能会对这些导数产生可观的影响，使得数值计算隐含了严重的不稳定性。

90 年代至今的文献中求解局部波动率的策略多种多样，大致有以下几种：

1. 直接求解出特定网格上的局部波动率矩阵，一个局部波动率矩阵唯一确定了一个局部波动率曲面，这种策略下局部波动率通常与解 PDE 的数值方法相关联。
2. 将局部波动率曲面参数化，通过解出待定参数确定局部波动率的形式，通常意味着求解一个大型非线性的数值优化问题。
3. 限定局部波动率的函数形式，并构造数值方法直接求解局部波动率函数。
4. 首先构造无套利的隐含波动率曲面或期权价格曲面，再根据隐含波动率或期权价格与局部波动率的关系求解。
5. 从最优控制的角度重新考虑问题，并构造数值方法直接求解出局部波动率函数的数值解。
6. 从贝叶斯统计学的角度重新考虑问题，求解出局部波动率的后验估计。
7. 从机器学习的角度重新考虑问题，用深度神经网络表示局部波动率，并设计相应训练方法。

策略 1 总结

文献【4】、【5】和【20】在最优化的框架下考虑问题，并且将局部波动率矩阵和特定的 PDE 数值解方法相关联，计算期权价格关于局部波动率矩阵的导数是一个难点。文献【4】主张用三叉树法计算 Dupire PDE 的数值解，并用树节点上的局部波动率矩阵表示局部波动率函数，同时提出了计算期权价格关于树节点上局部波动率的导数方法，以便实施基于梯度的优化算法。文献【5】主张用 FDM 计算 BS PDE 的数值解，并用有限差分网格上的局部波动率矩阵表示局部波动率函数，同时提出了计算期权价格关于网格节点上局部波动率的导数方法。文献【20】主张用 FDM 计算 Dupire PDE 的数值解，用差分网格上的局部波动率矩阵表示局部波动率函数，但使用自动微分技术算导数。

文献【2】主张在执行价格和到期时间张成的二维空间上划定网格，假定网格上局部波动率在节点附近可近似为常数，根据 Dupire PDE 和 Andersen-Brotherton-Ratcliffe 方法求解网格上局部波动率值。

策略 2 总结

局部波动率曲面的参数化大致有两种思路，一是将局部波动率曲面表示为某类“基函数”的加权；二是用样条插值表示局部波动率曲面。最终，问题被转化为一个数值优化问题，通过确定特定参数来求解出局部波动率曲面的函数形式，而优化的目标通常是市场价格与模型价格之间的差距。

文献【13】主张将局部波动率表示为 Radial Basis Functions 的线性组合。文献【12】主张将局部方差（局部波动率的平方）表示为一组（锥形）基函数的线性组合，优化的目标为市场隐含方差（隐含波动率平方）与模型隐含方差之间的差距，并且提出用序贯二次规划求解基函数权重。

文献【1】主张在执行价格和到期时间张成的二维空间选定一组基点坐标 $(k, t)$，将基点坐标上的局部波动率矩阵用 2D 样条函数相连来表示局部波动率曲面，该局部波动率矩阵唯一确定了一个局部波动率曲面。文献【10】分别用样条函数和 High Dimensional Model Representation 表示局部波动率函数，并比较了二者。文献【19】主张，用样条函数的张量积表示局部波动率曲面的形状，并提出对应的优化算法（Trust Region Algorithm）计算参数。

策略 3 总结

在不限定局部波动率函数形状的前提下，求解局部波动率通常比较困难。如果限定局部波动率函数的形式，则存在快速求解的方法。

文献【3】和【21】都使用了“线性化”技术简化问题。文献【3】主张局部波动率仅是价格的函数，即 $\sigma^2(s) = \sigma_0^2 + 2f_{\ast}(s)$，文献【21】进一步发展线性化技术，主张 $\sigma^2(s) = \sigma_0^2 + 2f_0^{\ast}(s)+ 2f_1^{\ast}(s)t$（$\sigma_0$ 是常数），二者都提出了快速校准“扰动函数” $f$ 的算法。

文献【9】主张局部波动率函数是乘法形式的（即 $\sigma(K, T) = \sigma_1(e^{\int_0^T r(t)dt}K) \sigma_2(T)$），将求解局部波动率的问题转化为两个子问题，分别求解微笑部分（$\sigma_1$）和期限结构部分（$\sigma_2$）。

文献【16】和【27】采取“分片策略”，文献【16】主张将局部方差限定为”分片常数函数”，而文献【27】主张局部方差是“分片线性函数”，两者都提出了快速校准算法。

策略 4 总结

鉴于局部波动率与隐含波动率曲面以及期权价格曲面之间存在直接的关联，如果能从市场报价中“拟合”出无套利的隐含波动率曲面或期权价格曲面，就可以直接求解出局部波动率。

文献【22】和【30】选择直接建立无套利隐含波动率曲面，进而间接得到局部波动率曲面。文献【22】提出了参数化的隐含波动率曲面构建方法，以及无套利的插值和外推法。文献【30】主张，根据 SVI 模型和“平远期插值”建立无套利隐含波动率曲面。

文献【11】、【15】和【24】选择通过无套利的看涨期权价格曲线间接获得无套利隐含波动率曲面。文献【11】主张用有约束的三次样条函数拟合无套利的看涨期权价格曲线。文献【15】主张用有约束的 B 样条函数拟合无套利的看涨期权价格曲线。文献【24】主张用有约束的 Bernstein 多项式拟合无套利的看涨期权价格曲线。

文献【7】、【8】、【14】、【17】和【23】选择从看涨期权价格直接得到局部波动率。文献【8】和【14】提出了无套利的插值方法以得到看涨期权价格曲面。文献【17】主张用有约束的移动最小二乘法（MLS）构造无套利的看涨期权价格曲面。文献【23】主张用张量正交多项式（Tensor Orthonormal Polynomials）表示看涨期权价格曲面，并提出线性规划算法求解参数。文献【7】主张用正则化的三次样条函数拟合无套利的看涨期权价格曲线，并根据 Dupire 等式从看涨期权价格曲面计算局部波动率，为克服数值计算的不稳定性而次引入正则化手段。

策略 5 总结

文献【6】主张仅考虑局部波动率是价格的函数，在最优控制的框架下提出了一个迭代算法得到局部波动率函数。文献【18】指出局部波动率函数和期权的状态价格函数满足一组 PDE，并给出了数值解格式。文献【25】将求解局部波动率曲面视为一个无限维的、PDE 约束的优化问题，并提出离散格式和有效的优化方法（Multigrid Method with Line Search，MNLS)。

策略 6 总结

文献【26】、【28】和【29】将市场报价看作是依赖局部波动率的一组随机变量，求解局部波动率便转化为一个贝叶斯统计问题。

文献【26】和【28】主张将网格上的局部波动率矩阵视为随机变量，并推导出了局部波动率关于期权价格的条件概率密度，进而通过 MCMC 得到局部波动率矩阵的后验估计。文献【29】主张用高斯过程表示局部波动率函数，再通过 MCMC 得到局部波动率函数的后验估计。

策略 7 总结

新颖的 AI 技术正在被用来解决传统的金融工程问题，利用神经网络拟合未知函数的能力，文献【31】和【32】尝试用神经网络求解局部波动率。

文献【31】主张用深度神经网络训练出无套利的看跌期权价格曲面，进而再根据 Dupire 等式得到局部波动率曲面。文献【32】主张用深度神经网络表示看涨期权价格曲面和局部方差函数，训练出网络参数即得到局部波动率曲面。

参考文献

【1】Reconstructing the Unknown Local Volatility Function

【2】Volatility Estimation from Observed Option Prices

【3】Recovery of Volatility Coefficient by Linearization

【4】Calibration of the Local Volatility in a Trinomial Tree Using Tikhonov Regularization

【5】A Technique for Calibrating Derivative Security Pricing Models: Numerical Solution of an Inverse Problem

【6】A New Well-Posed Algorithm to Recover Implied Local Volatility

【7】Computation of Local Volatilities from Regularized Dupire Equations

【8】Smile Interpolation and Calibration of the Local Volatility Model

【9】On Decoupling of Volatility Smile and Term Structure in Inverse Option Pricing

【10】Volatility Calibration Using Spline and High Dimensional Model Representation Models

【11】Arbitrage-Free Smoothing of the Implied Volatility Surface

【12】Calibration of Local Volatility Using the Local and Implied Instantaneous Variance

【13】Using Radial Basis Functions to Construct Local Volatility Surfaces

【14】Arbitrage-free Asset Class Independent Volatility Surface Interpolation on Probability Space using Normed Call Prices

【15】Imposing No-Arbitrage Conditions in Implied Volatilities Using Constrained Smoothing Splines

【16】Filling the Gaps

【17】Arbitrage-Free Approximation of Call Price Surfaces and Input Data Risk

【18】The Regularized Implied Local Volatility Equations -a New Model to Recover the Volatility of Underlying Asset from Observed Market Option Price

【19】Stable Local Volatility Function Calibration Using Spline Kernel

【20】Non-Parametric Calibration of the Local Volatility Surface for European Options Using a Second-Order Tikhonov Regularization

【21】Recovery of Time-Dependent Volatility in Option Pricing Model

【22】To Sigmoid-Based Functional Description of the Volatility Smile

【23】Nonparametric and Arbitrage-Free Construction of Call Surfaces Using L1-Recovery

【24】Call Option Price Function in Bernstein Polynomial Basis with No-Arbitrage Inequality Constraints

【25】Reconstructing Local Volatility Using Total Variation

【26】Robust Calibration of Financial Models Using Bayesian Estimators

【27】Filling the Gaps Smoothly

【28】Modeling and Implementation of Local Volatility Surfaces in Bayesian Framework

【29】A Probabilistic Approach to Nonparametric Local Volatility

【30】波动率建模新视角: 无套利局部波动率曲面–以上证50ETF期权市场为例

【31】Deep Local Volatility

【32】Deep Self-Consistent Learning of Local Volatility