用构造无风险组合的方式推导定价 PDE——BS、单因子和 Heston 模型

用构造无风险组合的方式推导定价 PDE——BS、单因子和 Heston 模型

BS 模型

从最简单的童话故事开始。

股价 $S_t$ 的 SDE 如下：

\[dS_t = (\mu - q)S_t dt + \sigma S_t dB_t\]

用 $S_t$ 和欧式期权 $E(t,S_t)$ 构造一个组合 $V$，连续动态调整 $S$ 和 $E$ 的比例使得 $V$ 是一个无风险组合。由于期权和股票都只在一个随机变量 $B_t$ 上有敞口，并且股票是可直接交易的对象，因此无需引入其他的交易标的就可以实现完全对重，进而构造出无风险组合。这一点和后面的两个例子不同。

$w_1$ 和 $w_2$ 分别是 $S$ 和 $E$ 的市值占比，那么 $V$ 的“瞬时”收益率可以表示为：

\[\frac{dV}{V} = w_1 \frac{dS}{S} + w_2 \frac{dE}{E} +w_1 q dt \tag{1}\]

由 Ito 公式可知，

\[\begin{align*} & w_1 \frac{dS}{S} + w_2 \frac{dE}{E} \\ & = w_1 \left((\mu-q)dt + \sigma dB_t \right) + w_2 \frac{1}{E}\left( \frac{\partial E}{\partial t}dt + \frac{\partial E}{\partial S}dS_t + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 E}{\partial S^2}d[S_t] \right)\\ & = w_1 \left((\mu-q)dt + \sigma dB_t \right) + w_2 \frac{1}{E}\left( \frac{\partial E}{\partial t}dt + \frac{\partial E}{\partial S}((\mu - q)S dt + \sigma S dB_t) + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 E}{\partial S^2}\sigma^2S^2 dt \right) \end{align*}\]

$V$ 是无风险组合的话

\[\frac{dV}{V} = r dt \tag{2}\]

为了消除 $V$ 的随机性，也就是说消除掉 $dB_t$，$w_1$ 和 $w_2$ 要满足一个方程组：

\[\left\{\begin{matrix} w_1 + w_2 &= 1\\ w_1 + \frac{S}{E} \frac{\partial E}{\partial B} w_2 &= 0 \end{matrix}\right.\]

方程组的解是

\[w_1 = \frac{-\frac{S}{E}\frac{\partial E}{\partial S}}{1 - \frac{S}{E}\frac{\partial E}{\partial S}}\\ w_2 = \frac{1}{1 - \frac{S}{E}\frac{\partial E}{\partial S}}\]

丢进（1），同时注意到（2），稍加整理将得到 PDE（略过边界条件）：

\[\frac{\partial E}{\partial t} + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 E}{\partial S^2}\sigma^2S^2 + \frac{\partial E}{\partial S}S(r-q) - Er=0\]

零息债券的单因子模型

债券的语境下就是另一个故事了。

短期利率过程 $r_t$ 的 SDE 如下：

\[dr_t = \mu(r,t) dt + \sigma(r,t) dB_t\]

和期权的情况不同，由于短期利率不是一个可以直接交易的对象，因此，要构造无风险组合可以考虑用两个期限不同的债券对冲掉彼此的随机性敞口。

$w_1$ 和 $w_2$ 分别是 $P(t, T_1)$ 和 $P(t, T_2)$ 的市值占比（$T_2 \neq T_1$），那么 $V$ 的“瞬时”收益率可以表示为：

\[\frac{dV}{V} = w_1 \frac{dP_1}{P_1} + w_2 \frac{dP_2}{P_2} \tag{3}\]

由 Ito 公式可知，

\[\begin{align*} & w_1 \frac{dP_1}{P_1} + w_2 \frac{dP_2}{P_2} \\ & = w_1 \frac{1}{P_1}\left( \frac{\partial P_1}{\partial t}dt + \frac{\partial P_1}{\partial r}dr_t + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 P_1}{\partial r^2}d[r_t] \right) + w_2 \frac{1}{P_2}\left( \frac{\partial P_2}{\partial t}dt + \frac{\partial P_2}{\partial r}dr_t + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 P_2}{\partial r^2}d[r_t] \right)\\ & = w_1 \frac{1}{P_1}\left( \frac{\partial P_1}{\partial t}dt + \frac{\partial P_1}{\partial r}(\mu dt + \sigma dB_t) + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 P_1}{\partial r^2}\sigma^2 dt \right) + w_2 \frac{1}{P_2}\left( \frac{\partial P_2}{\partial t}dt + \frac{\partial P_2}{\partial r}(\mu dt + \sigma dB_t) + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 P_2}{\partial r^2}\sigma^2 dt \right) \end{align*}\]

为了消除 $V$ 的随机性，$w_1$ 和 $w_2$ 要满足一个方程组，

\[\left\{\begin{matrix} w_1 + w_2 &= 1\\ \frac{1}{P_1} \frac{\partial P_1}{\partial r} w_1 + \frac{1}{P_2} \frac{\partial P_2}{\partial r} w_2 &= 0 \end{matrix}\right.\]

方程组的解是

\[w_1 = \frac{\frac{1}{P_2} \frac{\partial P_2}{\partial r}}{\frac{1}{P_2} \frac{\partial P_2}{\partial r} - \frac{1}{P_1} \frac{\partial P_1}{\partial r}}\\ w_2 = \frac{-\frac{1}{P_1} \frac{\partial P_1}{\partial r}}{\frac{1}{P_2} \frac{\partial P_2}{\partial r} - \frac{1}{P_1} \frac{\partial P_1}{\partial r}}\]

丢进（3），同时注意到（2）将得到

\[w_1 \frac{1}{P_1}\left( \frac{\partial P_1}{\partial t} + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 P_1}{\partial r^2}\sigma^2 \right) + w_2 \frac{1}{P_2}\left( \frac{\partial P_2}{\partial t} + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 P_2}{\partial r^2}\sigma^2 \right) = r_t\]

稍加整理得到

\[\frac{\frac{\partial P_1}{\partial t} + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 P_1}{\partial r^2}\sigma^2 - rP_1}{\frac{\partial P_1}{\partial r}} = \frac{\frac{\partial P_2}{\partial t} + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 P_2}{\partial r^2}\sigma^2 - rP_2}{\frac{\partial P_2}{\partial r}}\]

也就是说

\[\frac{\frac{\partial P}{\partial t} + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 P}{\partial r^2}\sigma^2 - rP}{\frac{\partial P}{\partial r}} \tag{4}\]

与债券的期限无关，可以记为一个 $t$ 和 $r$ 的函数 $\Lambda(t,r)$，进而得到 PDE（略过边界条件）：

\[\frac{\partial P}{\partial t} + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 P}{\partial r^2}\sigma^2 - Pr - \frac{\partial P}{\partial r}\Lambda = 0\]

$\Lambda$ 到底是什么？

还是 Ito 公式，

\[\frac{dP}{P} = \frac{1}{P}(\frac{\partial P}{\partial t} + \frac{\partial P}{\partial r}\mu + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 P}{\partial r^2}\sigma^2) dt + \frac{1}{P}\frac{\partial P}{\partial r}\sigma dB_t\]

可以看到，债券瞬时回报分解成为了确定性和随机性的两部分，套用业绩归因的 Sharp 比的概念，如果把债券的 Sharp 比（并不是真正意义上的 Sharp 比，而是一种类比）表示为：

\[\lambda(t,r) = \frac{\frac{1}{P}(\frac{\partial P}{\partial t} + \frac{\partial P}{\partial r}\mu + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 P}{\partial r^2}\sigma^2) - r}{\frac{1}{P}\frac{\partial P}{\partial r}\sigma}\]

它可以看做是在度量短期利率敞口的风险溢价水平。对比一下（4）就可以得到

\[\Lambda = \sigma \lambda - \mu\]

最终，零息债券的 PDE 写成：

\[\frac{\partial P}{\partial t} + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 P}{\partial r^2}\sigma^2 + \frac{\partial P}{\partial r}(\mu - \sigma \lambda) - Pr = 0\]

Heston 模型

Heston 模型的故事又深邃了一点，其实是前述两个案例的综合。

\[dS_t = (\mu - q)S dt + \sqrt{v} S dB^1_t\\ dv_t = \kappa(\theta - v)dt + \sigma \sqrt{v}dB^2_t\\ [dB^1_t, dB^2_t] = \rho dt\]

在 Heston 模型中欧式期权 $E(t,S_t,v_t)$ 对 $B^1$ 和 $B^2$ 都有敞口，但是 $S_t$ 只对 $B^1$ 有直接的敞口，因此单纯 $E$ 和 $S$ 的组合无法完全对冲掉随机性敞口。此外，和短期利率相似，随机波动率也是无法直接交易的，可以考虑引入另一个不同期限的期权来对冲掉对 $B^2$ 的敞口。

$w_1$、$w_2$ 和 $w_3$ 分别是 $S$、$E_1(T_1)$ 和 $E_2(T_2)$ 的市值占比（$T_2 \neq T_1$），那么

\[\frac{dV}{V} = w_1 \frac{dS}{S} + w_2 \frac{dE_1}{E_1} + w_3 \frac{dE_2}{E_2} + w_1 q dt \tag{5}\]

由 Ito 公式可知，

\[\begin{align*} & w_1 \frac{dS}{S} + w_2 \frac{dE_1}{E_1} + w_3 \frac{dE_2}{E_2} \\ & = w_1 \left( (\mu - q) dt + \sqrt{v_t} dB^1_t \right)\\ & + w_2 \frac{1}{E_1}\left( \frac{\partial E_1}{\partial t}dt + \frac{\partial E_1}{\partial S}dS_t + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 E_1}{\partial S^2}d[S_t] + \frac{\partial E_1}{\partial v}dv_t + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 E_1}{\partial v^2}d[v_t] + \frac{\partial^2 E_1}{\partial S \partial v}d[S_t, v_t] \right)\\ & + w_3 \frac{1}{E_2}\left( \frac{\partial E_2}{\partial t}dt + \frac{\partial E_2}{\partial S}dS_t + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 E_2}{\partial S^2}d[S_t] + \frac{\partial E_2}{\partial v}dv_t + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 E_2}{\partial v^2}d[v_t] + \frac{\partial^2 E_2}{\partial S \partial v}d[S_t, v_t] \right)\\ & = w_1 \left( (\mu - q) dt + \sqrt{v_t} dB^1_t \right)\\ & + w_2 \frac{1}{E_1}\left( \frac{\partial E_1}{\partial t}dt + \frac{\partial E_1}{\partial S}((\mu - q)S dt + \sqrt{v} S dB^1_t) + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 E_1}{\partial S^2}vdt + \frac{\partial E_1}{\partial v}(\kappa(\theta - v)dt + \sigma \sqrt{v}dB^2_t) + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 E_1}{\partial v^2}\sigma^2vdt + \frac{\partial^2 E_1}{\partial S \partial v}\rho \sigma Sv dt \right)\\ & + w_3 \frac{1}{E_2}\left( \frac{\partial E_2}{\partial t}dt + \frac{\partial E_2}{\partial S}((\mu - q)S dt + \sqrt{v} S dB^1_t) + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 E_2}{\partial S^2}vdt + \frac{\partial E_2}{\partial v}(\kappa(\theta - v)dt + \sigma \sqrt{v}dB^2_t) + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 E_2}{\partial v^2}\sigma^2vdt + \frac{\partial^2 E_2}{\partial S \partial v}\rho \sigma Sv dt \right)\\ & = w_1(x_1dt + y_1dB^1_t) \\ & + w_2(x_2dt + y_2dB^1_t + z_2dB^2_t) \\ & + w_3(x_3dt + y_3dB^1_t + z_3dB^2_t) \end{align*}\]

为了消除 $V$ 的随机性，$w_1$、$w_2$ 和 $w_3$ 要满足一个方程组，

\[\left\{\begin{matrix} w_1 + w_2 + w_3 &= 1\\ y_1w_1 + y_2w_2 + y_3w_3 &= 0\\ z_2w_2 + z_3w_3 &= 0\\ \end{matrix}\right.\]

方程组的解是

\[w_1 = \frac{z_2y_3 - z_3y_2}{z_3(y_1-y_2) - z_2(y_1-y_3)}\\ w_2 = \frac{y_1z_3}{z_3(y_1-y_2) - z_2(y_1-y_3)}\\ w_3 = \frac{-y_1z_2}{z_3(y_1-y_2) - z_2(y_1-y_3)}\]

丢进（5），同时注意到（2），那么

\[w_1(x_1+q) + w_2x_2 + w_3x_3 = r\]

稍加整理将得到

\[\frac{(x_1-r+q)y_2 - (x_2-r)y_1}{z_2} = \frac{(x_1-r+q)y_3 - (x_3-r)y_1}{z_3}\]

也就是说

\[\frac{(x_1-r+q)y - (x-r)y_1}{z}\]

与期权期限无关，仅仅是 $t$，$S$ 和 $v$ 的函数，可以记做 $\Lambda(t,S,v)$，进而得到 PDE：

\[\frac{\partial E}{\partial t} + \frac{\partial E}{\partial S}S(r-q) + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 E}{\partial S^2}S^2v + \frac{\partial E}{\partial v}[\kappa(\theta - v) + \sigma\Lambda] + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 E}{\partial v^2}\sigma^2v + \frac{\partial^2 E}{\partial S \partial v}\rho\sigma Sv - Er = 0\]

$\Lambda$ 到底是什么？

注意到

\[\frac{(x_1-r+q)y - (x-r)y_1}{z} \\= -\frac{yy_1}{z}\left(\frac{x-r}{y}-\frac{x_1-r+q}{y_1}\right) \\= -\frac{S\sqrt{v}}{\sigma}\left(\frac{x-r}{y}-\frac{x_1-r+q}{y_1}\right)\]

记

\[\lambda = S\sqrt{v}\left(\frac{x-r}{y}-\frac{x_1-r+q}{y_1}\right)\]

它可以看做期权和股票 Sharp 比（并非真正意义的 Sharp 比，而是一个类比）的差，再乘以股票价格瞬时变化的标准差。如果把期权看作是交易随机波动率的工具，而股票仅是随机波动率的被动承担者，那么

\[\frac{x-r}{y}-\frac{x_1-r+q}{y_1}\]

可以看做是在衡量随机波动率敞口的风险溢价水平，因为期权在两个敞口上均有暴露，股票只有一个敞口，两者相减便剩余随机波动率敞口。

最终，PDE 变成：

\[\frac{\partial E}{\partial t} + \frac{\partial E}{\partial S}S(r-q) + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 E}{\partial S^2}S^2v + \frac{\partial E}{\partial v}[\kappa(\theta - v) - \lambda] + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 E}{\partial v^2}\sigma^2v + \frac{\partial^2 E}{\partial S \partial v}\rho\sigma Sv - Er = 0\]

总结

严格的来说，上述推导均不严谨。

以 $\frac{1}{V}dV$ 为例，这是一种不规范的写法，SDE 虽然名字中带有微分，但是规范的写法其实是一组积分表达式，$dS$ 仅仅是一种“缩写”。正是因为不规范的写法，$\frac{1}{V}dV$ 不能再写成 $d\ln V$。这是在随机性世界，和确定性世界有不一样的物理规则。

尽管数学表述不规范，但背后的经济意义却非常明了。

如果把微分视作差分的极限，$\frac{1}{V}dV$ 可以看做是瞬时收益率，也就是算数收益率的极限形式的。合约以及资产价值有各自的随机驱动因子（也就是敞口），消除掉组合的随机性，也就实现了完美意义上的对冲。