《Interest Rate Risk Modeling》第九章：关键利率久期和 VaR 分析

关键利率久期和 VaR 分析

思维导图

一些想法

• 在解关键方程的时候施加 $L^1$ 约束也许可以得到“稀疏解”，进而减少交易成本。
• 借鉴样条插值拟合期限结构时选择 knot 的方法选择关键期限。

有关现金流映射技术的推导

已知，

$$\mathrm{\Delta }y(t)=\{\begin{array}{ll}\mathrm{\Delta }y(t_{first})& t\le t_{first}\\ \mathrm{\Delta }y(t_{last})& t\ge t_{last}\\ \alpha \mathrm{\Delta }y(t_{left})+(1-\alpha )\mathrm{\Delta }y(t_{right})& \text{ else}\end{array}$$ $$\alpha =\frac{t_{right}-t}{t_{right}-t_{left}}$$ $$t_{left}<t<t_{right}$$

求解 $C{F}_{left}$、$C{F}_{right}$ 和 $C{F}_0$ 使得：

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \begin{array}{rl}P& =\frac{C{F}_t}{e^{y(t)t}}\\ & =\frac{C{F}_{left}}{e^{y(t_{left})t_{left}}}+\frac{C{F}_{right}}{e^{y(t_{right})t_{right}}}+C{F}_0\end{array}\end{array}$$

要求关键利率久期不变，那么：

$$\begin{array}{rl}\frac{1}{P}\frac{\partial P}{\partial y(t_{left})}& =\frac{1}{P}\frac{\partial P}{\partial y(t)}\frac{\partial y(t)}{\partial y(t_{left})}\\ & \approx \frac{1}{P}\frac{\partial P}{\partial y(t)}\frac{\mathrm{\Delta }y(t)}{\mathrm{\Delta }y(t_{left})}\\ & \approx -\frac{1}{P}\frac{C{F}_t\times t}{e^{y(t)t}}\alpha \\ & =-t\alpha \\ \frac{1}{P}\frac{\partial P}{\partial y(t_{left})}& =\frac{1}{P}\frac{\partial (\frac{C{F}_{left}}{e^{y(t_{left})t_{left}}}+\frac{C{F}_{right}}{e^{y(t_{right})t_{right}}}+C{F}_0)}{\partial y(t_{left})}\\ & =-\frac{1}{P}\frac{C{F}_{left}\times t_{left}}{e^{y(t_{left})t_{left}}}\end{array}$$

解出

$$\begin{array}{}\text{(2)}& C{F}_{left}=\frac{t\alpha P{e}^{y(t_{left})t_{left}}}{t_{left}}\end{array}$$

同理解出

$$\begin{array}{}\text{(3)}& C{F}_{right}=\frac{t(1-\alpha )P{e}^{y(t_{right})t_{right}}}{t_{right}}\end{array}$$

（2）和（3）代入（1）解出

$$C{F}_0=P\times \frac{(t-t_{left})(t-t_{right})}{t_{left}\times t_{right}}$$