QuantLib 金融计算——原理之 Bootstrap

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QuantLib 金融计算——原理之 Bootstrap

这次新开一个系列，不讲应用案例了，尝试介绍 QuantLib 某些核心功能背后的代码逻辑与数学原理。

Bootstrap 的原理

通过合约报价推算期限结构的过程称为“bootstrap”，其思想和实践非常类似于理论证明中用到的“数学归纳法”，大体过程如下：

1. 首先将要用到的已知利率和金融工具根据期限升序排列；
2. 假设已经求得期限结构上的第 $n$ 个值——$TS_n$，对应于第 $n$ 个报价；
3. 令 $TS_{n+1}$ 是个待定参数 $x$，并给定一个初值；
4. 用已知的期限结构数据——$TS_1,\dots,TS_n,x$，对第 $n+1$ 个金融工具进行估值；
5. 调整 $x$，使得估值结果与报价达到一致；
6. 此时，$x$ 便是要求解的 $TS_{n+1}$；
7. 以此类推。

其中 $TS$ 可以是即期利率、远期利率、贴现因子三者中的任意一个，而可用的插值方法也有线性插值、样条插值、对数线性插值和常数插值等等。两个维度相互搭配可以产生非常多的组合，QuantLib 通过模板技术实现两个维度的自由搭配，具体选择哪种组合要视业务需要而定。

其他问题语境下的 bootstrap 计算原理类似。

QuantLib 中的 bootstrap 计算（利率语境）

要在 QuantLib 中 bootstrap 出一条利率曲线所涉及的最核心的类有两个：

• 直接调用的类是 PiecewiseYieldCurve 模板类，它直接接受一组报价；
• 另外一个间接调用的类是 IterativeBootstrap 模板类，作为 PiecewiseYieldCurve 的默认模板参数。

PiecewiseYieldCurve 需要三个模板参数，前两个分别确定底层数据和插值方法的选择。比如说 PiecewiseYieldCurve<Discount, LogLinear> 表示程序内部 bootstrap 出一条贴现因子曲线，用对数线性法插值得到任意日期上的利率值。

IterativeBootstrap 是 PiecewiseYieldCurve 需要的第三个模板参数，并且是默认选项。它本身就是个模板类，而它的模板参数正是实例化后的 PiecewiseYieldCurve。C++ 模板就是这么神奇！

在整个 bootstrap 计算过程中，实际出苦力的类是 IterativeBootstrap，它负责从若干金融工具的报价数据中迭代地求解出利率曲线，而 PiecewiseYieldCurve 则是充当 Boss 的角色。

核心代码细节

现在来看看 QuantLib 具体怎么实现 bootstrap 的。

通过一些模板技巧，PiecewiseYieldCurve 其实是 YieldTermStructure 的派生类，所以它最核心的方法是 discountImpl（要了解这一点，请阅读《构建 QuantLib》）。

DiscountFactor PiecewiseYieldCurve<C,I,B>::discountImpl(Time t) const
{
    calculate();
    return base_curve::discountImpl(t);
}

在返回数据之前，PiecewiseYieldCurve 会先调用 calculate，bootstrap 的计算就发生在这里。

PiecewiseYieldCurve 的 calculate 方法直接复用其基类 LazyObject 的 calculate 方法。这里应用了“模板方法模式”，calculate 只起到传达命令的作用，实际的计算任务被重新委派回了 PiecewiseYieldCurve 的 performCalculations 方法。

void PiecewiseYieldCurve<C,I,B>::performCalculations() const
{
    // just delegate to the bootstrapper
    bootstrap_.calculate();
}

在 performCalculations 方法中 IterativeBootstrap 的一个实例 bootstrap_ 最终执行所有计算。

尽管 IterativeBootstrap 的 calculate 方法代码很长，但毛教员教育我们分析问题要“抓大放小”，其实最核心的代码只有两行，

if (validData)
    solver_.solve(*errors_[i], accuracy, guess, min, max);
else
    firstSolver_.solve(*errors_[i], accuracy, guess, min, max);

solver_ 和 firstSolver_ 分别是 Brent 和 FiniteDifferenceNewtonSafe 对象，用于求解（非）线性函数的根，也就是求解利率。

errors_[i] = ext::shared_ptr<BootstrapError<Curve> >(
    new BootstrapError<Curve>(ts_, helper, i));

errors_ 是 BootstrapError 对象，也是一个函数对象，它负责返回估值结果与实际报价之间的差距，充当待求解的（非）线性函数。

const ext::shared_ptr<typename Traits::helper>& helper = ts_->instruments_[j];

而 helper 就是某个传递给 PiecewiseYieldCurve 的报价对象，在利率语境下通常是 FraRateHelper 或 SwapRateHelper 等 XXXRateHelper 对象，这些 XXXRateHelper 类专门用于 bootstrap 计算。

上述代码便是 QuantLib 对 bootstrap 原理的实现。

开放问题：如何实现 FR007 互换的相关分析？

利率互换的分析分为两大类：

1. 对存续合约估计、计算敏感性等；
2. 根据最新合约的报价推算利率期限结构。

FR007 互换的现金流结构和普通的利率互换（例如 Shibor3M 互换）基本一致，每隔三个月交换现金流，但确定浮动端利率的方式有不同。在三个月的付息区间内 FR007 利率要每隔七天确定一次，付息区间内的若干 FR007 利率还需要经过某些计算才能最终确定浮动端利率。

根据上述代码的分析，要想最大限度的复用当前逻辑并最小程度的编写代码，需要在 helper 上做文章，可以考虑实现 SwapRateHelper 的兄弟类 FR007SwapRateHelper，以及配套的 FR007Swap 类（作为 VanillaSwap 的派生类或兄弟类）。

QuantLib 当前实现的 ArithmeticAverageOIS 和 ArithmeticOISRateHelper 也许是非常值得效仿的范例。

下一步将尝试按照上述思路实现 C++ 代码。