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QuantLib 金融计算——比较几种生成 Sobol 序列的方向数

Sobol 序列的方向数影响了所产生随机数的质量，这里比较了 QuantLib 中内置的方向数配置。

发表于 更新于
作者 徐瑞龙
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QuantLib 金融计算——比较几种生成 Sobol 序列的方向数

概述

Sobol 序列因方向数的选取而不同，下面比较一下 QuantLib 中 10 种方向数配置所产生的 Sobol 序列。

QuantLib 提供 10 种方向数配置，分别是：

  • Jaeckel：理论支持的最大维度为 32，来源于文献 Monte Carlo Methods in Finance（by Peter Jäckel）；
  • SobolLevitan：理论支持的最大维度为 40，来源于文献 Algorithm 659: Implementing Sobol’s quasirandom sequence generator；
  • SobolLevitanLemieux：理论支持的最大维度为 360，来源于文献 RandQMC user’s guide - A package for randomized quasi-Monte Carlo methods in C；
  • JoeKuoD5：理论支持的最大维度为 2000，来源于文献 Constructing Sobol sequences with better two-dimensional projections；
  • JoeKuoD6：理论支持的最大维度为 21201，来源于文献 Constructing Sobol sequences with better two-dimensional projections；
  • JoeKuoD7：理论支持的最大维度为 1900，来源于文献 Constructing Sobol sequences with better two-dimensional projections；
  • Kuo：理论支持的最大维度为 4926，来源于文献 Constructing Sobol sequences with better two-dimensional projections；
  • Kuo2：理论支持的最大维度为 3947，来源于文献 Constructing Sobol sequences with better two-dimensional projections；
  • Kuo3：理论支持的最大维度为 4587，来源于文献 Constructing Sobol sequences with better two-dimensional projections；
  • Unit：来源于文献 Monte Carlo Methods in Finance（by Peter Jäckel）。

如果序列的维度超过了理论支持的最大维度，剩余维度上的方向数由伪随机数（Mersenne twister）填充。

更多关于 JoeKuoD5、JoeKuoD6、JoeKuoD7、Kuo、Kuo2 和 Kuo3 的细节请查看：https://web.maths.unsw.edu.au/~fkuo/sobol/

数值实验

实验案例：算术平均亚式看涨期权。

随机过程和期权参数配置：

  • $s$：100.0
  • $q$：0.0
  • $r$：0.09
  • $v$：0.2
  • 执行价：95.0
  • 时间长度：365 天、30 天

实验路径数：1000、2000、3000、4000、5000、10000、20000、50000、100000

长期期权实验结果

  • 不使用布朗桥

Jaeckel、SobolLevitan 和 SobolLevitanLemieux 三个低维度算法的表现明显好于其他。

Unit 的表现非常糟糕，尽管表现出收敛的态势，但 100000 路径模拟结果是 18.16，而准确值则是 9.997（文献【1】）。

注：NAG，SciPy 和 Julia 中的 Sobol 序列使用了 JoeKuoD6 的方向数配置：

  • https://www.nag.com/numeric/cl/nagdoc_cl24/html/G05/g05ylc.html
  • https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/reference/generated/scipy.stats.qmc.Sobol.html
  • https://www.juliapackages.com/p/sobol

但 JoeKuoD6 的表现居然不及三个需要随机初始化的低维算法。

  • 使用布朗桥

使用布朗桥之后，几种配置没有明显差别，Unit 的表现也有很大改善。

短期期权实验结果

  • 不使用布朗桥

  • 使用布朗桥

对于短期期权，无论是否使用布朗桥，各个方法没有明显差别。

结论

尽管其他知名软件包选择使用了 JeoKuoD6 的配置，但 QuantLib 当前的默认选项 Jaeckel 可能已然是最好的选择。（欢迎加入讨论：https://github.com/lballabio/QuantLib/issues/1219）

此外，布朗桥的使用真可谓“化腐朽为神奇”。

扩展阅读

参考文献

  1. Lo, Chien-Ling, Kenneth J. Palmer, and Min-Teh Yu. “Moment-matching approximations for Asian options.” The Journal of Derivatives 21.4 (2014): 103-122.
  2. Sobol’, Ilya M., et al. “Construction and comparison of high‐dimensional Sobol’generators.” Wilmott 2011.56 (2011): 64-79.
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